مدل بلک-درمن-توی

در ریاضایت مالی مدل  (Blacke-Derman-Toy BDT) یک مدل نرخ کوتاه مدت در قیمت گذاری اواراق قرضۀ سوآپ و سایر اوراق مشتقه دیگر است. این مدل اولین بار توسط فیشر بلک – امانوئل درمان و بیل توی معرفی شد که در سال ۱۹۸۰ در شرکت گلدمن ساکس مورد استفاده قرار گرفت و همچنین در سال ۱۹۹۰ در مجله تحلیل گران مالی منتشر شد و نحوۀ ایجاد این مدل در یکی از فصل‌های زندگینامۀ امانوئل به نام " زندگی من " آورده شده‌است.
در واقع مدل BDT یک مدل عاملی است که تنها یک عامل تصادفی یعنی همان نرخ بهرۀ کوتاه مدت اولیه، تعیین کنندۀ تمام تغییرات رفتار نرخ بهره در آینده است و این اولین مدلی است که رفتار بازگشت به میانگین سهام را با یکی از توزیع‌های نرمال به نام توزیع دو جمله‌ای ترکیب می‌کند.
بر اساس این مدل دنیای مالی شامل شبکه‌ای از مشتقات نرخ بهره است، به عیارت ساده‌تر ما برای نرخ بهره در آینده دو حالت نظر می‌گیریم:
حالت اول: به احتمال ۵۰٪ نرخ بهره در آینده یا افزایش می‌یابد
حالت دوم :یا به احتمال۵۰٪ نرخ بهره در آینده کاهش می‌یابد
می‌توان نرخ‌های بهره را بر اساس توزیع دو جمله‌ای تا بی‌نهایت ادامه داد و این مدل نشان می‌دهد که از یک معادلۀ دیفرانسیل تصادفی پیوسته زیر تبعیت می‌کند:

d ln(r)=[θt+(σ't/σt) ln(r)]dt]+σt dWt

r= نرخ بهرۀ کوتاه مدت در زمان t
θ_t= ارزش دارایی مبنا در زمان سر رسید اوراق
σ_t= انحراف معیار یا نوسانات نرخ بهره کوتاه مدت
W_t= دیفرانسیل آن است یک حرکت براونی استاندارد تحت اندازه‌گیری احتمال ریسک خنثی که وجود دارد:
مدل زیر برای اثبات نوسانت نرخ بهرۀ کوتاه مدت

d ln(r)=θt dt+σdWt